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2024年12月19日 | カテゴリ: 解説, math.MG | タグ: 宇宙の距離梯子, 四元数, 球面三角法 | 著者: テレンス・タオ
ハミルトンの四元数（クォータニオン）体系
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非可換であるため、四元数は体をなしません。しかし、斜体（または可除環）にはなります。つまり、乗法は結合的であり、すべての非ゼロ四元数は一意な乗法逆元を持ちます。
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複素数と同様に、四元数には共役があります。 $$ \overline{t+xi+yj+zk} := t-xi-yj-zk, $$ ただし、これは準同型ではなく反準同型となります：$\overline{qr} = \overline{r}\ \overline{q}$。四元数
$t + xi + yj + zk$ は、おなじみの公式によって実部$t$ と虚部$xi+yj+zk$ に分解できます。 $$ \mathrm{Re} (q) := \frac{q + \overline{q}}{2}; \quad \mathrm{Im} (q) := \frac{q - \overline{q}}{2} $$ （ただし、複素数の場合のように$i$ で割るのではなく、虚部は純虚数のままにしておきます）。 -
内積 $$ \langle q, r \rangle := \mathrm{Re} (q \overline{r}) $$ は対称かつ正定値です（$1,i,j,k$ は正規直交基底を形成します）。また、任意の
$q$ について、$q \overline{q}$ は実数であり、したがって$\langle q, q \rangle$ に等しくなります。これによりノルムが得られます。 $$ |q| = \sqrt{q\overline{q}} = \sqrt{\langle q,q \rangle} = \sqrt{t^2 + x^2 + y^2 + z^2}. $$ 実数はすべての四元数と可換であるため、乗法的な性質$|qr| = |q| |r|$ が成り立ちます。特に、単位四元数$U(1,\mathbb{H}) := { q \in \mathbb{H}: |q|=1}$ （$SU(2)$、$Sp(1)$、または$Spin(3)$ とも呼ばれます）はコンパクト群を形成します。 -
巡回トレース性 $$ \mathrm{Re}(qr) = \mathrm{Re}(rq) $$ が成り立ち、これにより左乗法と右乗法の随伴をとることができます。 $$ \langle qr, s \rangle = \langle q, s\overline{r}\rangle; \quad \langle rq, s \rangle = \langle q, \overline{r}s \rangle $$
訳注：随伴と導出 線形代数において、線形変換
$T$ の随伴（adjoint） $T^$ とは、任意の内積に対して $\langle T(u), v \rangle = \langle u, T^(v) \rangle$ を満たす変換のことです。ここでは、「右から$r$ を掛ける操作」の随伴が「右から$\overline{r}$ を掛ける操作」になることなどを意味しています。導出は以下の通りです。内積の定義
$\langle x, y \rangle = \mathrm{Re}(x\overline{y})$ を使用します。
- 左乗法の随伴:
$\langle qr, s \rangle = \mathrm{Re}(qr\overline{s})$ 。一方、$\langle q, s\overline{r} \rangle = \mathrm{Re}(q \overline{s\overline{r}}) = \mathrm{Re}(q r \overline{s})$。これらは一致します（結合法則のみで示せます）。- 右乗法の随伴:
$\langle rq, s \rangle = \mathrm{Re}(rq\overline{s})$ 。一方、$\langle q, \overline{r}s \rangle = \mathrm{Re}(q \overline{\overline{r}s}) = \mathrm{Re}(q \overline{s} r)$。ここで巡回トレース性$\mathrm{Re}(xy) = \mathrm{Re}(yx)$ を$x=r, y=q\overline{s}$ に適用すると、$\mathrm{Re}(r(q\overline{s})) = \mathrm{Re}((q\overline{s})r) = \mathrm{Re}(q\overline{s}r)$ となり、両者が一致することが示せます。
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$i,j,k$ は$-1$ の平方根であるため、通常のオイラーの公式が成り立ちます。 $$ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta, e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta, e^{k\theta} = \cos \theta + k \sin \theta $$ ここで$\theta$ は実数です。また、$\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$,$e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} e^{i\beta}$ ,$|e^{i\theta}| = 1$ などの他のなじみ深い公式も成り立ちます。
以下では、これらの代数的操作を特に断りなく使用します。
単位四元数
訳注：共役について 群論における共役（conjugation）は通常
$gxg^{-1}$ の形を指します。単位四元数においては$\overline{q} = q^{-1}$ が成り立つため、$qv\overline{q}$ は$qvq^{-1}$ と等価であり、共役作用と呼ばれます。なお、四元数$\overline{q}$ 自体も「共役（四元数）」と呼ばれるため、文脈による区別が必要です。
この作用は向きを保つ等長変換、すなわち回転によるものです。単位四元数
訳注：忠実な作用と核 群
$G$ の集合$X$ への作用が忠実 (faithful) であるとは、異なる群元が異なる変換を引き起こすこと、つまり作用が単射であることを意味します。群論では、恒等変換として作用する群元の集合を作用の核 (kernel) と呼びます。したがって、作用が忠実であることは、核が単位元のみ（${e}$）であることと同値です。この四元数の作用においては、任意の
$q$ に対して$(-q)v\overline{(-q)} = (-1)^2 qv\overline{q} = qv\overline{q}$ となるため、$q$ と$-q$ は常に同じ回転を引き起こします。特に、$q=1$ と$q=-1$ はどちらも恒等変換となるため、この作用の核は${1, -1}$ となります。核が非自明な元$-1$ を含むため、この作用は忠実ではありません。しかし、同じ変換を引き起こすのは常に$\pm q$ のペアに限られるため、この作用は「2対1」の対応となり、$SU(2)$ が$SO(3)$ の二重被覆であることを示しています。
例えば、任意の実数
訳注 $$ \begin{aligned} e^{i\theta/2} i e^{-i\theta/2} &= e^{i\theta/2} e^{-i\theta/2} i = i \
e^{i\theta/2} j e^{-i\theta/2} &= (\cos(\theta/2) + \sin(\theta/2) i) j (\cos(\theta/2) - \sin(\theta/2) i) \ &= (\cos(\theta/2) j + \sin(\theta/2) k) (\cos(\theta/2) - \sin(\theta/2) i) \ &= \cos^2(\theta/2) j - \sin^2(\theta/2) j + 2\sin(\theta/2) \cos(\theta/2) k \ &= \cos(\theta) j + \sin(\theta) k \
e^{i\theta/2} k e^{-i\theta/2} &= (\cos(\theta/2) + \sin(\theta/2) i) k (\cos(\theta/2) - \sin(\theta/2) i) \ &= (\cos(\theta/2) k - \sin(\theta/2) j) (\cos(\theta/2) - \sin(\theta/2) i) \ &= \cos^2(\theta/2) k - \sin^2(\theta/2) k - 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2) j \ &= \cos(\theta) k - \sin(\theta) j \end{aligned} $$
訳注：リー代数と角の倍増 3次元回転群
$SO(3)$ のリー代数$\mathfrak{so}(3)$ の標準的な基底（生成子）$L_x, L_y, L_z$ は、交換関係$[L_x, L_y] = L_z$ （およびその巡回置換）を満たします。一方、四元数の虚部がなすリー代数においては、交換関係は$[i, j] = 2k$ となります。係数の$2$ を相殺して$\mathfrak{so}(3)$ の構造と一致させるには、基底を$1/2$ 倍して$i/2, j/2, k/2$ とする必要があります（実際、$[i/2, j/2] = k/2$ となります）。リー群とリー代数の対応において、生成子
$X$ によって生成される回転は指数写像$e^{\theta X}$ で表されます。$X$ として正規化された生成子$i/2$ を採用すると、角度$\theta$ の回転は$e^{\theta(i/2)} = e^{i\theta/2}$ となります。つまり、$\theta/2$ という「半分の角度」があるというよりは、回転の生成子が$i$ ではなく$i/2$ である（基底の方が半分である） と解釈するのが、リー代数の構造としては本質的です。このように、交換関係における係数$2$ のズレが、指数写像における$1/2$ の因子として現れています。直感的な理解 また、共役作用
$q v \overline{q}$ が左右両側から作用するため「効果が2倍になる」と直感的に理解することもできます。具体的には、$i$ 軸周りの回転を考える際、回転対象のベクトル$v$ （$j, k$ 平面内のベクトル）は$i$ と反可換です。この反可換性により、右側からの作用$\overline{q} = e^{-i\phi}$ を左側に移動させると$e^{i\phi}$ に反転し、左側の$q = e^{i\phi}$ と合わさって$e^{2i\phi}$ となります。つまり、パラメータ$\phi$ の2倍の角度だけ回転することになります。したがって、目的の角度$\theta$ を得るには、半分の角度$\theta/2$ を用いる必要があります。行列による表現 別の視点として、四元数の左乗法
$L_q(v) = qv$ と右乗法$R_{\overline{q}}(v) = v\overline{q}$ をそれぞれ$4 \times 4$ 行列として表現することもできます。このとき、共役作用$v \mapsto qv\overline{q}$ は行列積$L_q R_{\overline{q}}$ という1つの線形変換（行列）として表されます。この$4 \times 4$ 行列は実軸（スカラー成分）を不変に保ち、虚部（ベクトル成分）の3次元部分空間に対して$SO(3)$ の回転行列として作用します。リー代数の視点は、この「結果として得られる回転行列」の微小変化（接空間）に着目したものと言えます。
四元数が3次元回転とどのように関連しているかを考えると、球面三角法（単位球面上の球面三角形の研究）の基本法則を導くために四元数を使用できることは驚くべきことではありません。これはかなりよく知られていますが、必要な議論を見つけるのに少し手間取ったので、ここに計算を記録しておきます。
最初の観察は、すべての単位四元数
訳注：接ベクトルとなる理由 ここで
$qj\overline{q}$ が「点$qi\overline{q}$ における接ベクトル」になる理由は、直交性にあります。元々$i$ と$j$ は直交しており、四元数による共役作用（回転）は角度を保つため、変換後の$qi\overline{q}$ と$qj\overline{q}$ も直交します。球面上の点$P$ において、位置ベクトル$P$ と直交するベクトルは接ベクトルとなるため、$qj\overline{q}$ は点$qi\overline{q}$ における接ベクトルとなります。つまり、四元数$q$ は「球上の位置」と「その点での向き」のセット（枠）を指定していることになります。
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$q$ に右から$e^{i\theta/2}$ を掛けても接ベクトルの位置$qi\overline{q}$ は変わりませんが、接ベクトル$qj\overline{q}$ を直交する接ベクトル$qk\overline{q}$ の方向に$\theta$ だけ反時計回りに回転させます。これは$qj\overline{q}$ を$\cos(\theta) qj\overline{q} + \sin(\theta) qk\overline{q}$ に置き換えるためです。 -
$q$ に右から$e^{k\theta/2}$ を掛けると、接ベクトルは測地線流（geodesic flow）によって角度$\theta$ だけ進みます。これは$qi\overline{q}$ を$\cos(\theta) qi\overline{q} + \sin(\theta) qj\overline{q}$ に置き換え、$qj\overline{q}$ を$\cos(\theta) qj\overline{q} - \sin(\theta) qi\overline{q}$ に置き換えるためです。
さて、頂点
訳注：辺の角と頂点の角 球面幾何学では、辺の長さも角度（中心角）で表します。「球面弧
$BC$ が角$a$ を張る」とは、球の中心$O$ から見て$\angle BOC = a$ であることを意味します。ここでは単位球面（半径$R=1$ ）を考えているため、この中心角$a$ （ラジアン）はそのまま球面上の弧長と一致します。一方、「頂点$A$ が角$\alpha$ を張る」とは、通常の三角形の内角と同様に、点$A$ における2つの辺（大円）の接線がなす角度を意味します。
訳注：式の読み方と動く枠（フレーム） この式は、三角形の周りを一周するプロセスを左から右への順序で表しています。ここで重要なのは、すべての操作が現在の接空間の枠（フレーム）に対する相対的な操作であるということです。
$i$ (法線): その場での回転（向きの変更）の軸。$j$ (接ベクトル): 現在の進行方向。$k$ (横方向): 測地線に沿って進むための回転軸（進行方向$j$ と法線$i$ に直交）。
- 初期状態: 点
$A$ にいて、球面弧$AB$ （$B$ の方向）を向いている。$e^{kc/2}$ : 横方向の軸（$k$）周りに回転することで、進行方向（$j$）へ弧長$c$ だけ進む（点$B$ に到着）。$e^{i(\pi-\beta)/2}$ : 法線（$i$）周りに、角度$\pi-\beta$ だけ回転し、次の球面弧$BC$ の方向を向く。$e^{ka/2}$ : 横方向の軸（$k$）周りに回転し、進行方向（$j$）へ弧長$a$ だけ進む（点$C$ に到着）。$e^{i(\pi-\gamma)/2}$ : 法線（$i$）周りに、角度$\pi-\gamma$ だけ回転し、次の球面弧$CA$ の方向を向く。$e^{kb/2}$ : 横方向の軸（$k$）周りに回転し、進行方向（$j$）へ弧長$b$ だけ進む（点$A$ に戻る）。$e^{i(\pi-\alpha)/2}$ : 法線（$i$）周りに、角度$\pi-\alpha$ だけ回転し、最初の向き（球面弧$AB$ の方向）に戻る。これら全ての操作を合成すると、元の位置と向き（フレーム）に戻るため、全体として恒等変換（$1$）になります。
注意：条件式としての意味 この式 (4) は、任意の
$a, b, c, \alpha, \beta, \gamma$ に対して成り立つ恒等式ではありません。これら6つのパラメータが実際に球面三角形を構成している場合にのみ成り立つ等式です。つまり、この式は球面三角形が存在するための拘束条件（必要十分条件）を表しており、この条件式から球面三角法の諸公式（正弦定理や余弦定理など）が導かれます。具体例：球の1/8の三角形 最も簡単な例として、球の8分の1を切り取った直角三角形の場合を確認します。 $$ a = b = c = \frac{\pi}{2},\quad \alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{2} $$ $$ e^{k\pi/4} = \cos\frac{\pi}{4} + k\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + k) $$ $$ e^{i\pi/4} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) $$ 式 (4) は
$(e^{k\pi/4} e^{i\pi/4})^3$ となります。まず$e^{k\pi/4} e^{i\pi/4}$ を計算します。 $$ \frac{1}{2}(1 + k)(1 + i) = \frac{1}{2}(1 + i + j + k) $$ 虚部を正規化した単位純虚四元数を$u$ として計算します。 $$ \begin{aligned} u &= \frac{1}{\sqrt{3}}(i+j+k) \ e^{k\pi/4} e^{i\pi/4} &= \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}u = \cos\frac{\pi}{3} + u\sin\frac{\pi}{3} = e^{u\pi/3} \ (e^{k\pi/4} e^{i\pi/4})^3 &= (e^{u\pi/3})^3 = e^{u\pi} = -1 \end{aligned} $$ この例では結果が$-1$ となりますが、次の段落で言及されています。
これは、この三角形の3つの辺と3つの角を関係付けています。（ア・プリオリには、$U(1,\mathbb{H})$ 作用の忠実性の欠如により、右辺は
注釈 1 法則 (4) には明白な対称性
$(a,b,c,\alpha,\beta,\gamma) \mapsto (\pi-\alpha,\pi-\beta,\pi-\gamma,\pi-a,\pi-b,\pi-c)$ があり、これは球面三角形をその双対三角形に置き換える操作に対応しています。また、(4) における虚数単位$i,k$ の選択に特別なことは何もありません。(4) をさまざまな四元数で共役させ、ここの$i,k$ を他の任意の直交する単位四元数のペアに置き換えることができます。
注釈 2
$a,b,c$ をある小さな$\varepsilon>0$ に対して$\varepsilon a, \varepsilon b, \varepsilon c$ に置き換える小規模領域で作業する場合、球面三角形はユークリッド三角形のように振る舞うことが期待されます。実際、(4) は0次オーダーで次のようになります。 $$ e^{i(\pi-\beta)/2} e^{i(\pi-\gamma)/2} e^{i(\pi-\alpha)/2} = 1 $$これは、ユークリッド三角形の内角の和が
$\pi$ に等しいという古典的な事実を反映しています。訳注 この式は実際には
$-1$ になります。$\alpha + \beta + \gamma = \pi$ より $$ e^{i(3\pi - (\alpha+\beta+\gamma))/2} = e^{i(3\pi - \pi)/2} = e^{i\pi} = -1 $$ ただし、$1$ と$-1$ はどちらも（二重被覆により）幾何学的には恒等変換を表すため、本質的な誤りではありません。1次オーダーでは、次のようになります。 $$ c + a e^{i(\pi-\gamma)/2} e^{i(\pi-\alpha)/2} + b e^{i(\pi-\alpha)/2} = 0 $$
訳注 微小な正三角形の場合でも厳密には
$0$ にならず、辺が有限な値を持つ場合は無視できない値となります。
$a=b=c=\varepsilon,\ \alpha=\beta=\gamma=\pi/3 + O(\varepsilon^2)$ とおいて、2次のオーダーを無視すれば $$ \begin{aligned} &\varepsilon + \varepsilon e^{i(\pi-\pi/3)/2} e^{i(\pi-\pi/3)/2} + \varepsilon e^{i(\pi-\pi/3)/2} \ = &\varepsilon(1 + e^{i(2\pi/3)} + e^{i(\pi/3)}) \ = &\varepsilon\left{1 + \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right} \ = &\varepsilon(1 + i\sqrt{3}) \end{aligned} $$これは、ユークリッド三角形の辺のベクトル和がゼロになるという明白な事実を反映しています。（幾何学的には、この対応は、（射影）四元数群の単位球面への作用が、適切な漸近極限において平面上の特殊ユークリッド群
$SE(2)$ の作用に収束するという事実を反映しています。）訳注 実際には、指数の
$1/2$ が消えた形になります。 $$ c + a e^{i(\pi-\beta)} + b e^{i(\pi-\beta)} e^{i(\pi-\gamma)} = 0 $$ 実際に微小な正三角形$(a=b=c=\varepsilon,\ \alpha=\beta=\gamma=\pi/3)$ を代入して確認します。 $$ \begin{aligned} & \varepsilon + \varepsilon e^{i(\pi-\pi/3)} + \varepsilon e^{i(\pi-\pi/3)} e^{i(\pi-\pi/3)} \ = & \varepsilon (1 + e^{i(2\pi/3)} + e^{i(4\pi/3)}) \ = & \varepsilon \left{1 + \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right} \ = & 0 \end{aligned} $$ 最終行の括弧内は、本文中で指摘されている「ユークリッド三角形の辺のベクトル和がゼロになる」ことに対応します。導出 式 (4) を
$a,b,c$ について1次近似します。（$e^{ka/2} \approx 1 + \frac{a}{2}k$ 等） $$ \left(1 + \frac{c}{2}k\right) e^{i(\pi-\beta)/2} \left(1 + \frac{a}{2}k\right) e^{i(\pi-\gamma)/2} \left(1 + \frac{b}{2}k\right) e^{i(\pi-\alpha)/2} $$$c,a,b$ について1次の項を取り出します。ここで$i$ と$k$ は反可換であることに注意します。また、0次の関係式$e^{i(\pi-\beta)/2} e^{i(\pi-\gamma)/2} e^{i(\pi-\alpha)/2} = -1$ を利用します。
$c$ の項:$\frac{c}{2} k e^{i(\pi-\beta)/2} e^{i(\pi-\gamma)/2} e^{i(\pi-\alpha)/2} = -\frac{c}{2} k$ $a$ の項:$\frac{a}{2} k e^{-i(\pi-\beta)/2} e^{i(\pi-\gamma)/2} e^{i(\pi-\alpha)/2} = -\frac{a}{2} k e^{-i(\pi-\beta)}$ $b$ の項:$\frac{b}{2} k e^{-i(\pi-\beta)/2} e^{-i(\pi-\gamma)/2} e^{i(\pi-\alpha)/2} = -\frac{b}{2} k e^{-i(\pi-\beta)} e^{-i(\pi-\gamma)}$ これらを合計します。 $$ -\frac{c}{2} k - \frac{a}{2} k e^{-i(\pi-\beta)} - \frac{b}{2} k e^{-i(\pi-\beta)} e^{-i(\pi-\gamma)} $$ これが
$0$ になることから、両辺に$-2k$ を掛けて、$k$ で共役を取れば$(kq\overline{k})$ 、前述の式が得られます。
恒等式 (4) は2つの単位四元数の恒等式です。単位四元数群
訳注 式 (4) の両辺に対し、右から
$e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb/2}$ 、左から$e^{-kc/2}$ を掛けることで得られます。ただし$(4)$ の右辺が$-1$ であれば結果は変わりますが、以降は考慮外とします。
訳注 四元数
$q$ を$i$ で共役をとる操作$i q \overline{i}$ を考えると、$i$ と可換な成分（実部と$i$ ）は不変で、$i$ と反可換な成分（$j$ と$k$ ）は符号が反転します（例：$i k \overline{i} = -k$）。したがって、この操作を方程式全体に適用すると、$e^{i\theta}$ の項は変わらず、$e^{k\phi}$ の項は$e^{-k\phi}$ に変化します。
これらの恒等式の両辺の内積をとると、次のように結論付けられます。
訳注 式 (5) の左辺を
$A$ 、右辺を$B$ とし、その次の（$i$ で共役をとって$k$ の符号を反転させた）式の左辺を$A'$ 、右辺を$B'$ とすると、$A=B$ かつ$A'=B'$ が成り立ちます。したがって、それらの内積も等しくなり$\langle A, A' \rangle = \langle B, B' \rangle$ となります。
内積のさまざまな性質を使用すると、左辺は
訳注 左辺の簡約手順は以下の通りです。
- 左乗法の随伴:
$\langle qx, qy \rangle = \langle x, \overline{q}qy \rangle = \langle x, y \rangle$ （$q$ が単位四元数の場合）を利用して、左端の$e^{i(\pi-\beta)/2}$ を消去します。- 右乗法の随伴:
$\langle xq, yq \rangle = \langle x, yq\overline{q} \rangle = \langle x, y \rangle$ （$q$ が単位四元数の場合）を利用して、右端の$e^{i(\pi-\gamma)/2}$ を消去します。- 残った
$\langle e^{ka/2}, e^{-ka/2} \rangle$ を計算します。 $$ \langle e^{ka/2}, e^{-ka/2} \rangle = \mathrm{Re}(e^{ka/2} \overline{e^{-ka/2}}) = \mathrm{Re}(e^{ka/2} e^{ka/2}) = \mathrm{Re}(e^{ka}) = \cos a $$
右辺は次のように簡約されます。
訳注 四元数の内積
$\langle q, r \rangle$ は定義により実数値$\mathrm{Re}(q\overline{r})$ であるため、$\mathrm{Re}$ は不要です。導出 左辺と同様に随伴を利用します。 $$ \begin{aligned} &\langle e^{-kc/2} e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb/2}, e^{kc/2} e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{kb/2} \rangle \ = &\langle e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb/2}, e^{kc} e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{kb/2} \rangle \ = &\langle e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb}, e^{kc} e^{-i(\pi-\alpha)/2} \rangle \ = &\langle e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb} e^{i(\pi-\alpha)/2}, e^{kc} \rangle \end{aligned} $$
となるので、
訳注 左辺は
$e^{-kb} = \cos b - (\sin b) k$ を$i$ 軸周りに角度$-(\pi-\alpha)$ だけ回転させたものです。実部$\cos b$ は不変で、ベクトル部$-(\sin b) k$ が回転します。 (3) に$\theta = -(\pi-\alpha)$ を代入することより、$k$ が回転によって$\cos(\pi-\alpha) k + \sin(\pi-\alpha) j$ となることが分かります。
代入して整理すると次が得られます。
これは球面余弦定理です。
訳注 内積は同じ成分ごとの積の和で、直交する成分の積は
$0$ です。 $$ \begin{aligned} \cos a &= \langle e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb} e^{i(\pi-\alpha)/2}, e^{kc} \rangle \ \cos a &= \langle \cos b - (\sin b) (\cos(\pi-\alpha) k + \sin(\pi-\alpha) j), \cos c + (\sin c) k \rangle \ \cos a &= \langle \cos b + (\sin b) (\cos(\alpha) k - \sin(\alpha) j), \cos c + (\sin c) k \rangle \ \cos a &= \cos b \cos c + \sin b \cos \alpha \sin c \end{aligned} $$
無限小極限（$a,b,c$ を
訳注 両辺を入れ替えて、$a,b,c$ を
$\varepsilon a, \varepsilon b, \varepsilon c$ に置き換えます。 $$ \cos \varepsilon a = \cos \varepsilon b \cos \varepsilon c + \sin \varepsilon b \sin \varepsilon c \cos \alpha $$ 2次の項までテイラー展開します。$(\cos x \approx 1 - x^2/2,\ \sin x \approx x)$ $$ \begin{aligned} 1 - \frac{(\varepsilon a)^2}{2} &= \left(1 - \frac{(\varepsilon b)^2}{2}\right)\left(1 - \frac{(\varepsilon c)^2}{2}\right) + (\varepsilon b)(\varepsilon c) \cos \alpha \ 1 - \frac{\varepsilon^2 a^2}{2} &= 1 - \frac{\varepsilon^2 b^2}{2} - \frac{\varepsilon^2 c^2}{2} + \varepsilon^2 bc \cos \alpha \ a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \end{aligned} $$
同様に、(5) から次の量は等しいことがわかります。
訳注 式 (5) の左辺を
$A$ 、右辺を$B$ とすると、$A=B$ より$Ai\overline{A} = Bi\overline{B}$ が成り立ちます。この式の両辺と$k$ との内積をとったものが上記の式です。
左辺は (1) と内積の性質により次のように簡約されます。
これは (2), (3) によりさらに
訳注 符号が逆です。 $$ \begin{aligned} &\langle e^{i(\pi-\beta)/2} e^{ka/2} e^{i(\pi-\gamma)/2} i e^{-i(\pi-\gamma)/2} e^{-ka/2} e^{-i(\pi-\beta)/2}, k \rangle \ = &\langle e^{i(\pi-\beta)/2} e^{ka/2} i e^{-ka/2} e^{-i(\pi-\beta)/2}, k \rangle \ = &\langle e^{ka/2} i e^{-ka/2}, e^{-i(\pi-\beta)/2} k e^{i(\pi-\beta)/2} \rangle \ = &\langle (\cos a) i + (\sin a) j, (\cos \beta) k + (\sin \beta) j \rangle \ = &\sin a \sin \beta \end{aligned} $$
同様に、右辺は次のように簡約されます。
これは (2), (3) により
訳注 符号が逆です。 $$ \begin{aligned} &\langle e^{-kc/2} e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb/2} i e^{kb/2} e^{i(\pi-\alpha)/2} e^{kc/2}, k \rangle \ = &\langle e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb/2} i e^{kb/2} e^{i(\pi-\alpha)/2}, e^{kc/2} k e^{-kc/2} \rangle \ = &\langle e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb/2} i e^{kb/2} e^{i(\pi-\alpha)/2}, k \rangle \ = &\langle e^{-kb/2} i e^{kb/2} , e^{i(\pi-\alpha)/2} k e^{-i(\pi-\alpha)/2} \rangle \ = &\langle (\cos b) i - (\sin b) j, (\cos \alpha) k + (\sin \alpha) j \rangle \ = &\sin b \sin \alpha \end{aligned} $$ 両辺ともに符号が逆のため、公式の導出には影響しません。
2つを等しいとおいて並べ替えると、次が得られます。
これは球面正弦定理です。再び、無限小極限ではおなじみのユークリッド正弦定理が得られます。
訳注
$a, b$ が微小なとき$\sin x \approx x$ と近似できるため。
上記の分析の変形として、(5) から再び次のことがわかります。
訳注 式 (5) の左辺を
$A$ 、右辺を$B$ とすると、$A=B$ より$Ai\overline{A} = Bi\overline{B}$ が成り立ちます。この式の両辺と$j$ との内積をとったものが上記の式です。
以前と同様に、左辺は次のように簡約されます。
これは
訳注 符号が逆です。 $$ \begin{aligned} &\langle e^{i(\pi-\beta)/2} e^{ka/2} e^{i(\pi-\gamma)/2} i e^{-i(\pi-\gamma)/2} e^{-ka/2} e^{-i(\pi-\beta)/2}, j \rangle \ = &\langle e^{i(\pi-\beta)/2} e^{ka/2} i e^{-ka/2} e^{-i(\pi-\beta)/2}, j \rangle \ = &\langle e^{ka/2} i e^{-ka/2}, e^{-i(\pi-\beta)/2} j e^{i(\pi-\beta)/2} \rangle \ = &\langle (\cos a) i + (\sin a) j, -(\cos \beta) j - (\sin \beta) k \rangle \ = &-\sin a \cos \beta \end{aligned} $$
一方、右辺は次のように並べ替えることができます。
(2), (3) により、次のように簡約できます。
したがって、内積は
訳注 符号が逆です。 $$ \begin{aligned} &\langle e^{-kc/2} e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb/2} i e^{kb/2} e^{i(\pi-\alpha)/2} e^{kc/2}, j \rangle \ = &\langle e^{-i(\pi-\alpha)/2} e^{-kb/2} i e^{kb/2} e^{i(\pi-\alpha)/2}, e^{kc/2} j e^{-kc/2} \rangle \ = &\langle e^{-i(\pi-\alpha)/2} {(\cos b) i - (\sin b) j} e^{i(\pi-\alpha)/2}, (\cos c) j - (\sin c) i \rangle \ = &\langle (\cos b) i - (\sin b)(\cos(\pi-\alpha) j + \sin(\pi-\alpha) k), (\cos c) j - (\sin c) i \rangle \ = &\langle (\cos b) i + (\sin b)(\cos \alpha) j - (\sin b)(\sin \alpha) k, (\cos c) j - (\sin c) i \rangle \ = &-\cos b \sin c + \sin b \cos \alpha \cos c \end{aligned} $$ 両辺ともに符号が逆のため、公式の導出には影響しません。
これにより、「5要素の公式（five part rule）」が導かれます。
直角三角形
これは無限小極限ではおなじみの
訳注
$\beta=\pi/2$ のとき$\cos \beta = 0$ なので、5要素の公式の右辺は$0$ になります。 $$ \cos b \sin c - \sin b \cos c \cos \alpha = 0 $$ 移項して整理します。 $$ \cos \alpha = \frac{\cos b \sin c}{\sin b \cos c} = \frac{1}{\tan b} \cdot \tan c = \frac{\tan c}{\tan b} $$ 無限小極限$b, c$ が微小なとき$\tan x \approx x$ と近似できます。
ネイピアの他の法則も同様の方法で導き出すことができます。
例 3 ネイピアの法則 (6) の1つの応用は、地球上の特定の場所と特定の時期における日の出と日の入りの時刻を決定する日の出方程式です。議論のために、太陽の赤緯
$\delta$ が正である夏を考えましょう（地軸の傾きにより、夏至には最大$23.5^\circ$ に達します）。訳注 赤緯 (declination) とは、天の赤道（地球の赤道を天球に投影した大円）を基準
$(0^\circ)$ とし、そこから北極側にどれだけ離れているかを示す角度です。太陽の赤緯は観測者の位置によらず、季節（日付）によって決まる値です。すると、太陽は北極星（北半球ではポラリス、南半球ではシグマ・オクタンティス）から
$\pi/2-\delta$ の角度を張り、その北極星の周りを24時間で1周するように見えます。一方、緯度$\phi$ にいる場合、北極星は地平線の上に$\phi$ の高度を持ちます。訳注 北極星の高度：例えば北極点
$(\phi=\pi/2)$ では北極星は天頂（高度$\pi/2$ ）にあり、赤道$(\phi=0)$ では地平線（高度$0$ ）にあります。極めて高緯度
$\phi > \pi/2-\delta$ では、太陽は決して沈みません（「白夜」として知られる現象）。訳注 白夜の条件：太陽の赤緯
$\delta$ が正のときは、自転軸の北側（北極点）が太陽の方向を向いています。そのため、北極点$(\phi=\pi/2)$ から$\delta$ の範囲内$(\phi > \pi/2-\delta)$ で、太陽は沈みません。しかし、それ以外のすべての場合、日の出または日の入りの時点で、太陽、北極星、および北極星の下の地平線上の点は直角球面三角形を形成し、斜辺は角度
$\pi/2-\delta$ を張り、垂直辺は角度$\phi$ を張ります。訳注 既に見たように、北極星と太陽との角度は
$\pi/2-\delta$ 、北極星の地平線からの高度は$\phi$ で一定であり、これらが斜辺と垂直辺となります。この三角形で北極星が張る角度は
$\pi-\omega$ であり、ここで$\omega$ は太陽時角（太陽が正午の位置からずれている角度）です。訳注 時角
$\omega$ は「真南」を基準$(0)$ とした角度です。一方、この球面三角形の頂点$P$ （北極星）における角度は、真北を基準として測ります。真南と真北は$180^\circ (\pi)$ 離れているため、この角度は$\pi - \omega$ となります。式 (6) は次の日の出方程式を与えます。 $$ \cos(\pi-\omega) = \frac{\tan \phi}{\tan(\pi/2-\delta)} $$ または等価的に $$ \cos \omega = - \tan \phi \tan \delta. $$
訳注：導出
直角三角形の構成要素：
- 頂点: 太陽
$S$ 、北極星$P$ 、北極の真下の地平線上の点$N$ 。- 直角:
$N$ （子午線と地平線は直交するため$\angle N = \pi/2$ ）。- 斜辺: 北極から太陽までの距離
$b = PS = \pi/2 - \delta$ 。- 垂直辺: 北極星の高度
$c = PN = \phi$ 。- 二辺の間の角: 子午線（北側）と太陽の方向とのなす角
$\alpha = \angle SPN = \pi - \omega$ 。公式 (6)
$\cos \alpha = \frac{\tan c}{\tan b}$ に代入します。 $$ \cos(\pi-\omega) = \frac{\tan \phi}{\tan(\pi/2-\delta)} $$$\cos(\pi-\omega) = -\cos \omega,\ \tan(\pi/2-\delta) = 1/\tan \delta$ より $$ \cos \omega = -\tan \phi \tan \delta $$ この式の意味:
- 夏
$(\delta > 0)$ : 右辺は負になります。$\cos \omega < 0$ より$\omega > 90^\circ$ となり、日没までの時間が6時間を超えるため、昼が長くなります。- 冬
$(\delta < 0)$ : 右辺は正になります。$\cos \omega > 0$ より$\omega < 90^\circ$ となり、昼が短くなります。- 春分・秋分
$(\delta = 0)$ : 右辺は$0$ になります。$\omega = 90^\circ$（6時間）となり、昼夜の長さが等しくなります。同様の法則が日の入りの時刻を決定します。特に、夏の日照時間（白夜の地域
$\phi > \pi/2 -\delta$ にいないと仮定）は次のように与えられます。 $$ 24 - \frac{24}{\pi} \mathrm{arccos}(\tan \phi \tan \delta). $$訳注 地球は24時間で
$2\pi$ 回転するため、角度$\theta$ （ラジアン）は$\frac{24}{2\pi}\theta$ 時間に相当します。 日の出から日の入りまでは$2\omega$ なので、日照時間は$\frac{24}{\pi}\omega$ です。
$\cos \omega = -\tan \phi \tan \delta$ より$$\omega = \arccos(-\tan \phi \tan \delta)$$ $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$ より$$\omega = \pi - \arccos(\tan \phi \tan \delta)$$ 以上より日照時間を求める。$$\frac{24}{\pi}(\pi - \arccos(\tan \phi \tan \delta)) = 24 - \frac{24}{\pi}\arccos(\tan \phi \tan \delta)$$ 白夜の境界$\tan \phi \tan \delta = 1$ では$\arccos(1)=0$ なので24時間、春分・秋分$\delta=0$ では$\arccos(0)=\pi/2$ なので12時間となります。冬の状況も同様ですが、$\delta$ が負になり、$\phi > \pi/2+\delta$ のときに極夜（日の出なし）が発生します。
訳注 極夜の条件：$\delta$ が正のときの白夜の条件
$\phi > \pi/2-\delta$ と比べて、$\delta$ の符号が逆になります。