Q: $\tan1^\circ$ は有理数か [2006 京都大学(後期)] 極限・相似・背理法の3つだけを使い、単位円と内接三角形の箱庭の中で完結する初等的な証明。
単位円 $r=1$ の点 $(x(\theta),y(\theta))=(\cos\theta,\sin\theta)$ 。
連続性より、
$$
\tan\theta_0=\frac{\sin\theta_0}{\cos\theta_0}
=\frac{\lim_{\theta\to\theta_0} y/r}{\lim_{\theta\to\theta_0} x/r}
=\frac{y(\theta_0)}{x(\theta_0)}
$$
という定義が可能。
また、角度 $\theta$ に $\theta_0$ を1回加える操作は、単位円上の点を
$$
(x(\theta), y(\theta)) \mapsto (x(\theta+\theta_0), y(\theta+\theta_0))
$$
へと写し、その時の比 $y/x$ が
$$
\tan\theta\mapsto\tan(\theta+\theta_0)
$$
と更新される。
二直線 $y=mx, y=m'x$ のなす角を $\theta_0$ とすると
相似比から、
$$
\tan\theta_0=\frac{m'-m}{1+mm'}
$$
これを $t=\tan\theta_0$ として $m'$ を解くと、
$$
t=\frac{m'-m}{1+mm'} \Rightarrow m'=\frac{m+t}{1-mt}
$$
という傾きの更新式が定義可能。
今の $m$ を $\tan\theta_0$ 、 $m'$ を $\tan(\theta+\theta_0)$ と解釈すれば、
$$
\tan(\theta+\theta_0)=\frac{\tan\theta+\tan\theta_0}{1-\tan\theta\tan\theta_0}
$$
が相似から導かれ、§1の「比=極限で定義」と整合する。
$t=\tan1^\circ\in\mathbb{Q}$ と仮定。初期値は $m_0=0$ (x軸)。
離散的な角度更新と連続的角度の一致については、厳密には極限操作
$$
g_{n}(x)=\frac{x+\tan(1^{\circ}/n)}{1-x\tan(1^{\circ}/n)},
\tan(m\cdot1^{\circ})=\lim_{n\to\infty}g_{n}^{(mn)}(0)
$$
で示せるが、ここでは自明として扱う。
§2の更新式は、
$$
m_{k+1}=\frac{m_k+t}{1-m_kt},(k=0,1\dotsc,29)
$$
は、有理数の四則演算のみ $\Rightarrow$ 帰納的に $m_k\in\mathbb{Q}$ 。
角度累積及び幾何学的意味より $m_k=\tan(k^\circ)$ 。
よって $\tan30^\circ\in\mathbb{Q}$ 。
$\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$ は無理数。矛盾。
従って、 $\tan1^{\circ}\notin\mathbb{Q}$ 。
$\tan1^{\circ}$ は有理数ではない。
