14-09-2020_mak_final_solution.tex

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{geometry}
\usepackage{graphicx}
\geometry{a4paper, margin=1in}

\title{Final Sınavı Çözümleri}
\author{GitHub Copilot}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Soru 1 (40P)}
\textbf{Verilenler:}
$S = 15$ kVA, $2300/230$ V.
Boş Çalışma (Primer): $V_{oc} = 2300$ V, $I_{oc} = 0.21$ A, $P_{oc} = 50$ W.
Kısa Devre (Primer): $V_{sc} = 47$ V, $I_{sc} = 6.0$ A, $P_{sc} = 160$ W.

\subsection*{a) Eşdeğer Devre Parametreleri (Yüksek Gerilim Tarafına İndirgenmiş)}
Kısa devre deneyinden seri parametreler bulunur:
$$ R_{eq} = \frac{P_{sc}}{I_{sc}^2} = \frac{160}{6^2} = 4.4444 \, \Omega $$
$$ Z_{eq} = \frac{V_{sc}}{I_{sc}} = \frac{47}{6} = 7.8333 \, \Omega $$
$$ X_{eq} = \sqrt{Z_{eq}^2 - R_{eq}^2} = \sqrt{7.8333^2 - 4.4444^2} = 6.4504 \, \Omega $$

Boş çalışma deneyinden paralel kol parametreleri bulunur:
$$ G_c = \frac{P_{oc}}{V_{oc}^2} = \frac{50}{2300^2} = 9.4518 \times 10^{-6} \, S \implies R_c = \frac{1}{G_c} = 105800 \, \Omega $$
$$ Y_{oc} = \frac{I_{oc}}{V_{oc}} = \frac{0.21}{2300} = 9.1304 \times 10^{-5} \, S $$
$$ B_m = \sqrt{Y_{oc}^2 - G_c^2} = \sqrt{(9.1304 \times 10^{-5})^2 - (9.4518 \times 10^{-6})^2} = 9.0814 \times 10^{-5} \, S $$
$$ X_m = \frac{1}{B_m} = 11011.54 \, \Omega $$

\subsection*{b) Tam Yük Gerilim Regülasyonu (0.8 Geri Güç Faktörü)}
Primer akımı (Tam yük):
$$ I_1 = \frac{S}{V_1} = \frac{15000}{2300} = 6.5217 \, A $$
Güç faktörü $0.8$ geri olduğundan akım gerilimden $\arccos(0.8) = 36.87^\circ$ geridedir.
Referans olarak $V_{load}' = 2300 \angle 0^\circ$ V alalım.
$$ I_1 = 6.5217 \angle -36.87^\circ \, A = 5.2174 - j3.9130 \, A $$
Giriş gerilimi:
$$ V_{in} = V_{load}' + I_1 (R_{eq} + jX_{eq}) $$
$$ V_{in} \approx 2348.49 \, V $$
Gerilim Regülasyonu:
$$ \%VR = \frac{|V_{in}| - |V_{rated}|}{|V_{rated}|} \times 100 = \frac{2348.49 - 2300}{2300} \times 100 = 2.11 \% $$

\subsection*{c) Verim (Tam Yük, 0.8 Geri Güç Faktörü)}
Çıkış Gücü:
$$ P_{out} = S \times PF = 15000 \times 0.8 = 12000 \, W $$
Kayıplar:
$$ P_{core} = P_{oc} = 50 \, W $$
$$ P_{cu} = I_1^2 R_{eq} = (6.5217)^2 \times 4.4444 = 189.04 \, W $$
Toplam Kayıp:
$$ P_{loss} = 50 + 189.04 = 239.04 \, W $$
Verim:
$$ \eta = \frac{P_{out}}{P_{out} + P_{loss}} = \frac{12000}{12000 + 239.04} = 0.9805 \implies \%98.05 $$

\section*{Soru 2 (20P)}
\textbf{Verilenler:}
$S = 8$ kVA, $300/3600$ V, 60 Hz.
Yüksüz akımlar: $I_m = 1.6$ A, $I_c = 1.2$ A.
Stator empedansı ihmal.

\subsection*{a) Giriş Güç Katsayısı}
Yüksüz akım:
$$ I_0 = \sqrt{I_m^2 + I_c^2} = \sqrt{1.6^2 + 1.2^2} = 2.0 \, A $$
Güç katsayısı:
$$ \cos \phi_0 = \frac{I_c}{I_0} = \frac{1.2}{2.0} = 0.6 $$

\subsection*{b) Mıknatıslanma Endüktansı ($X_m$)}
Giriş gerilimi $V_1 = 300$ V kabul edilirse (LV tarafı):
$$ X_m = \frac{V_1}{I_m} = \frac{300}{1.6} = 187.5 \, \Omega $$

\subsection*{c) Giriş Gücü}
$$ P_{in} = V_1 I_c = 300 \times 1.2 = 360 \, W $$

\section*{Soru 3 (30P)}
\textbf{Verilenler:}
DA Şönt Generatör (Kompund olmayan).
Etiket: $V_T = 200$ V, $I_a = 6$ A, $1500$ d/d, $I_f = 0.5$ A.
Yabancı uyartımlı (Rated $I_f$, Rated Speed): $E_a = 203$ V (Yüksüz $V_T = E_a$).
Kendinden uyartımlı (Tam yük, Rated Speed): $V_T = 200$ V.

\subsection*{a) Endüvi ve Uyartım Dirençleri}
Kendinden uyartımlı durumda tam yükte $V_T = 200$ V ve $I_f$ nominal değerde ($0.5$ A) çalıştığına göre:
$$ R_f = \frac{V_T}{I_f} = \frac{200}{0.5} = 400 \, \Omega $$
Aynı hız ve aynı uyartım akımında $E_a$ sabittir ($203$ V).
$$ V_T = E_a - I_a R_a \implies 200 = 203 - 6 R_a $$
$$ 6 R_a = 3 \implies R_a = 0.5 \, \Omega $$

\subsection*{b) Döner Kayıplar ve Verim}
Yüksüz durumda ($V_T = 202$ V, 1500 d/d):
Giriş Torku $T = 2.1$ Nm.
Giriş Gücü:
$$ P_{in} = T \omega = 2.1 \times \left( \frac{1500 \times 2\pi}{60} \right) = 329.87 \, W $$
Üretilen Elektriksel Güç ($P_{elec\_prod}$):
$$ I_f = \frac{202}{400} = 0.505 \, A $$
Yüksüz olduğu için $I_a = I_f = 0.505$ A.
$$ E_a = V_T + I_a R_a = 202 + 0.505 \times 0.5 = 202.25 \, V $$
$$ P_{elec\_prod} = E_a I_a = 202.25 \times 0.505 = 102.14 \, W $$
Döner Kayıplar:
$$ P_{rot} = P_{in} - P_{elec\_prod} = 329.87 - 102.14 = 227.73 \, W $$

Verim (Tam Yükte):
Çıkış Gücü:
$$ I_L = I_a - I_f = 6 - 0.5 = 5.5 \, A $$
$$ P_{out} = V_T I_L = 200 \times 5.5 = 1100 \, W $$
Kayıplar:
$$ P_{rot} = 227.73 \, W $$
$$ P_{cu\_a} = I_a^2 R_a = 6^2 \times 0.5 = 18 \, W $$
$$ P_{cu\_f} = I_f^2 R_f = 0.5^2 \times 400 = 100 \, W $$
Toplam Kayıp = $345.73$ W.
$$ \eta = \frac{1100}{1100 + 345.73} = 0.7609 \implies \%76.09 $$

\subsection*{c) Maksimum Verim ve Maksimum Güç}
Maksimum Verim Şartı: Değişken Kayıplar = Sabit Kayıplar.
Sabit Kayıplar $\approx P_{rot} + P_{cu\_f} = 227.73 + 100 = 327.73$ W.
Değişken Kayıp $= I_a^2 R_a$.
$$ I_a^2 \times 0.5 = 327.73 \implies I_a = \sqrt{655.46} = 25.60 \, A $$
Terminal Gerilimi:
$$ V_T = E_a - I_a R_a = 203 - 25.60 \times 0.5 = 190.20 \, V $$
Yük Akımı:
$$ I_f = \frac{190.20}{400} = 0.4755 \, A $$
$$ I_L = I_a - I_f = 25.60 - 0.48 = 25.12 \, A $$

Maksimum Güç:
Maksimum güç transferi için yük direnci iç dirence eşit olmalı (yaklaşık).
Veya $V_T = E_a / 2$.
$$ V_T = \frac{203}{2} = 101.5 \, V $$
$$ I_a = \frac{E_a}{2 R_a} = \frac{203}{1} = 203 \, A $$
(Bu akım nominal değerin çok üzerindedir, pratik olarak mümkün değildir ancak teorik nokta budur).

\subsection*{d) Anma Değerlerinde Tork}
Tam yükte giriş gücü:
$$ P_{in} = P_{out} + P_{loss} = 1100 + 345.73 = 1445.73 \, W $$
Tork:
$$ T = \frac{P_{in}}{\omega} = \frac{1445.73}{157.08} = 9.20 \, Nm $$

\subsection*{e) Yük Karakteristiği}
Yüksüz durumda $V_T = 203$ V (veya 202 V) seviyesinden başlar. Yük akımı arttıkça $I_a R_a$ gerilim düşümü ve endüvi reaksiyonu (varsa) nedeniyle terminal gerilimi düşer. Tam yükte (5.5 A) 200 V değerine iner. Aşırı yüklenirse gerilim hızla düşer.

\end{document}

Makefile

all: solution.pdf

solution.pdf: solution.tex
	pdflatex solution.tex
	pdflatex solution.tex

clean:
	rm -f *.aux *.log *.out solution.pdf