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代数学概論：2次・3次方程式の解法とガロア理論の導入

エグゼクティブサマリー

本資料は、代数方程式の解法、特に2次および3次方程式を題材として、ガロア理論の根幹をなす思想を解説するものである。中心的なテーマは、方程式の解が持つ「対称性」を、体の「自己同型写像」という厳密な数学的概念を用いて捉えることにある。

2次方程式の解法において、平方根 $\sqrt{D}$ を $-\sqrt{D}$ に置き換えても数式全体の構造が保たれる現象は、単なる偶然ではない。これは有理数体 $Q$ を拡大して得られる体 $Q(\sqrt{D})$ 上の自己同型写像の存在を示唆しており、この写像こそがガロア理論における基本的な分析対象となる。

さらに、3次方程式の解法に向けて、 $x^3+y^3+z^3-3xyz$ という対称的な多項式の因数分解が鍵となることが示される。この因数分解には1の原始3乗根 $w$ が不可欠であり、解の構造がより複雑な対称性によって支配されていることを明らかにしている。本資料で提示される演習問題は、これらの抽象的な概念を具体的な計算を通じて理解し、より高次の方程式理論へと進むための基礎を構築することを目的としている。

第1部：2次方程式とガロア理論の基本概念

ガロア理論の基本的な発想は、2次方程式の解法における根源的な性質の考察から生まれる。

1.1. 2次方程式の解法と対称性

有理数係数を持つ2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ ( $a \neq 0$ ) は、以下の手順でより単純な形式 $X^2=A$ に帰着できる。

1. 両辺を $a$ で割り、 $x^2+px+q=0$ の形にする（ただし $p=b/a$, $q=c/a$）。
2. $x = X - p/2$ と変数変換を行うことで、方程式は $X^2 = \frac{p^2}{4}-q$ となる。
3. これにより、解は $X = \pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$ となり、平方根を取る操作に集約される。

ここで最も重要な点は、「0でない数の平方根のとり方は2通りある」という事実である。例えば、 $\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ がこれにあたる。この2つの値を入れ替えても、四則演算で構成される数式の構造は維持される。

具体例: 数式 $(1+\sqrt{2})(2-3\sqrt{2}) = -4-\sqrt{2}$ において、 $\sqrt{2}$ をすべて $-\sqrt{2}$ に置き換えると、 $(1-\sqrt{2})(2+3\sqrt{2}) = -4+\sqrt{2}$ となり、等式が依然として成立する。この「置き換え」が、ガロア理論における中心的なアイデアである。

1.2. 体の言葉による定式化

この「置き換え」の概念は、体の自己同型写像として厳密に定義される。

• 体 $K$ と拡大体 $L$: 基礎となる体をここでは有理数体 $K=Q$ とする。この体に $\sqrt{2}$ を添加して得られる体 $L=Q(\sqrt{2})$ は、 $K$ の拡大体と呼ばれる。
• $Q(\sqrt{2})$ の構造: この体は、 $a, b$ を有理数として $a+b\sqrt{2}$ の形で表せる数全体の集合であり、 $Q$ と $\sqrt{2}$ を含む最小の体である。
  • $L = Q(\sqrt{2}) = \lbrace\ a+b\sqrt{2} \mid a, b \in Q\ \rbrace$
• 自己同型写像 $\sigma$: $\sqrt{2}$ を $-\sqrt{2}$ に置き換える操作は、写像 $\sigma: L \to L$ として定義される。
  • $\sigma(a+b\sqrt{2}) = a-b\sqrt{2}$
• $\sigma$ の性質: この写像 $\sigma$ は、体 $L$ の四則演算を保つ自己同型写像である。さらに、任意の有理数 $a \in Q$ に対して $\sigma(a)=a$ を満たすため、 $K=Q$ の元を動かさない。これは「体 $L$ の体 $K$ 上での自己同型」と呼ばれる。

1.3. 演習問題による概念の深化

提示された演習問題は、これらの概念の理解を確かなものにする。

問題番号	概要	証明の要点
問題1-1	集合 $L=\lbrace a+b\sqrt{2} \mid a,b\in Q \rbrace$ が、 $Q$ と $\sqrt{2}$ を含む $\mathbb{R}$ の最小の部分体であることを証明する。	1. 体が環であることの証明: $L$ が加法と乗法で閉じていること、加法に関する逆元（ $-\alpha$ ）、乗法に関する単位元（1）の存在を示す。 2. 体が体であることの証明: 0でない任意の元 $\alpha=a+b\sqrt{2}$ に対し、乗法に関する逆元 $\frac{1}{\alpha}$ が $L$ に存在することを示す（分母の有理化を利用）。 3. 最小性の証明: $Q$ と $\sqrt{2}$ を含む任意の体 $M$ を考えると、体の性質から $a,b\sqrt{2} \in M$ となり、必然的に $a+b\sqrt{2} \in M$ となるため、 $L \subset M$ が示される。
問題1-2	$Q(\sqrt{2})=Q(-\sqrt{2})=Q(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ であることを証明する。	$Q(\sqrt{2}) \subset Q(-\sqrt{2}) \subset Q(\sqrt{2},-\sqrt{2}) \subset Q(\sqrt{2})$ という包含関係の連鎖を示すことで証明する。例えば、 $Q(\sqrt{2}) \subset Q(-\sqrt{2})$ は、 $-\sqrt{2} \in Q(-\sqrt{2})$ と $-1 \in Q(-\sqrt{2})$ から $\sqrt{2}=(-1)(-\sqrt{2}) \in Q(-\sqrt{2})$ であることと、 $Q(\sqrt{2})$ の最小性から導かれる。
問題1-3	写像 $\sigma(a+b\sqrt{2}) = a-b\sqrt{2}$ が体の四則演算を保つことを証明する。	任意の $\alpha, \beta \in L$ と $a \in Q$ について、以下の性質を直接計算で確認する。 • $\sigma(a) = a$ • $\sigma(\alpha+\beta) = \sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$ • $\sigma(\alpha\beta) = \sigma(\alpha)\sigma(\beta)$ • $\sigma(\frac{1}{\alpha}) = \frac{1}{\sigma(\alpha)}$ （ただし $\alpha \neq 0$） 特に逆元については、 $\sigma(\alpha \cdot \frac{1}{\alpha}) = \sigma(1) = 1$ と $\sigma(\alpha\beta) = \sigma(\alpha)\sigma(\beta)$ を利用して導出することも可能である。

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第2部：3次方程式の解法へのアプローチ

3次方程式の解法を考察する準備として、特定の対称性を持つ多項式の因数分解が導入される。

2.1. 中核問題： $x^3+y^3+z^3-3xyz$ の因数分解

問題1-4 は、 $x^3+y^3+z^3-3xyz$ を1次式の積で表現することを求める。この因数分解は3次方程式の解の構造を理解する上で極めて重要である。

• ヒント: 1の原始3乗根 $w=e^{2\pi i/3} = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ を利用する。この $w$ は、$w^3=1$ および $w^2+w+1=0$ の性質を持つ。
• 因数分解の結果: $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x+wy+w^2z)(x+w^2y+wz)$
• 解答例のアプローチ:
  1. 直接計算: $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ に分解した後、さらに2次の項を $w$ を用いて因数分解する。
  2. 2次方程式として解く: $x^2-(y+z)x+(y^2-yz+z^2)=0$ という $x$ に関する2次方程式とみなし、解の公式を用いて $x = -wy-w^2z$ と $x = -w^2y-wz$ を導き、因数 $(x+wy+w^2z)$ と $(x+w^2y+wz)$ を見つける。

2.2. 発展的視点：行列式による表現

この多項式は、巡回行列の行列式としても表現できる。

• 行列式表示: $\begin{vmatrix} x & y & z \ z & x & y \ y & z & x \end{vmatrix} = x^3+y^3+z^3-3xyz$
• 代数的構造: この行列は、 $E$ を単位行列、 $\Lambda = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ として、$xE+y\Lambda+z\Lambda^2$ と書ける。
• 対角化による因数分解: 行列 $\Lambda$ はユニタリ行列 $U$ によって対角化可能である ( $\Lambda = UDU^{-1}$ )。この性質を利用すると、行列式は固有値の積として計算でき、上記因数分解が代数的に導出される。
  • $|xE+y\Lambda+z\Lambda^2| = |U(xE+yD+zD^2)U^{-1}| = |xE+yD+zD^2|$
  • この計算結果が $(x+y+z)(x+wy+w^2z)(x+w^2y+wz)$ と一致する。

このアプローチは、 $n \times n$ の巡回行列に一般化可能であり、より高次の代数構造への拡張性を示唆している。

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第3部：今後の課題

提示された残りの問題は、これまでの概念を3次の場合に拡張し、具体的な方程式の解法へとつなげるものである。

• 問題1-5: $L=\lbrace\ a+b\alpha+c\alpha^2 \mid a,b,c \in Q\ \rbrace$（ただし $\alpha=\sqrt[3]{2}$）が、 $Q$ と $\alpha$ を含む最小の体 $Q(\sqrt[3]{2})$ となることを示す。問題1-1の3次への拡張であり、逆元を求める際の分母の有理化がより複雑になる。
• 問題1-6: 一般的な3次方程式 $x^3-3px+q=0$ の解法を構築する。問題1-4の結果を利用し、 $p=yz$, $q=y^3+z^3$ とおくことで解への道筋を探る。
• 問題1-7: 具体的な方程式 $x^3+2x-2=0$ を解き、その正の実数解 $\alpha$ を根号（ $\sqrt{\ }$ と $\sqrt[3]{\ }$）を用いて具体的に表現する。

オリジナルの手書きのノートのPDF化の様子.md

以下は上に引用したNotebookLMで作ったまとめのソース(PDF)の中身の一部分のスクショである。

このような手書きのノートのPDF化であってもNotebookLMは上のような感じのまとめを作ってくれる。(LaTeX部分は少しだけいじってある。)