toancaocapintro.md

course	year	index	createdAt	abstract
TOA105	2026	1	2026-01-07 12:24

Nguyễn Thị Toàn - Lý thuyết toán cao cấp 1 NXB Đại học KTQD - Lê Đình Thúy SBT toán cao cấp

Phần 1. Đại số

Chương 1. Ma trận và định thức

1. Các khái niệm về ma trận

$$A=\begin{bmatrix} 1 &-1 & 2 \ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}$$ Đây là một ma trận cấp 2x3. Nên trong ma trận A ở trên, $a_{11} = 1$, $a_{12}=-1$. $a_{ij}$ thì là phần tử dòng $i$, cột $j$. $$B=\begin{pmatrix} -1&4\0&3\10&-7 \end{pmatrix}$$ Đây là ma trận cấp 3x2. $b_{34}=10$. Ma trận có thể viết ngoặc tròn hoặc vuông. $$C=\begin{bmatrix} 2&6\-4&7 \end{bmatrix}$$ Ma trận như thế này gọi là ma trận vuông, cấp 2. $$0 = \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\0&0&0&0&0 \end{pmatrix}$$ Đây gọi là ma trận 0. $$ A=\begin{bmatrix} 1\-1 \end{bmatrix}\space\space\space B=\begin{bmatrix} -1\1 \end{bmatrix}$$ B sẽ là ma trận đối của A. $$B=\begin{bmatrix} 1&2&3\4&5&6 \end{bmatrix}\to B^T=\begin{bmatrix} 1&4\2&5\3&6 \end{bmatrix}$$ Đây là ma trận chuyển vị. $B_{m\times n}=B^T_{m\times n}$

Tam giác

$$\begin{bmatrix} 2&1&-3\0&4&1\0&0&5 \end{bmatrix}$$ Đây là ma trận tam giác trên. $$\begin{bmatrix} 2&0&0\1&4&0\-6&3&5 \end{bmatrix}$$ Đây là ma trận tam giác dưới. $$\begin{bmatrix} 0&0&-3\0&4&1\-4&5&5 \end{bmatrix}$$ Ma trận này có tạo thành hình tam giác nhưng không có tên.

Bậc thang

$$\begin{bmatrix} -1&2&1&4\0&3&7&8\0&0&9&5 \end{bmatrix}$$ Đây là ma trận bậc thang. Mọi phần tử nằm dưới đường chéo chính (từ $-1$ đến $9$) đều phải bằng $0$. $$\begin{bmatrix} -1&2&1&4\0&3&7&8\0&99&4&5 \end{bmatrix}$$ Đây không là ma trận bậc thang. Có phần tử khác $0$ nằm ngoài đường chéo chính. $$\begin{bmatrix} -1&2&1&4\0&3&7&8\0&0&4&5\0&0&0&5 \end{bmatrix}$$ Đây vừa là ma trận

Các phép toán

Cho ma trận: $$\begin{bmatrix} 1&-1&2\2&4&5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2&1&-4\3&7&-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3&0&-2\5&11&3 \end{bmatrix}$$ Khi $A$, $B$, $C$ là các ma trận cùng cấp; ta có $(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C$. $$A=\begin{bmatrix}2\-1\end{bmatrix};\space\space\space\space4A=\begin{bmatrix}8\-4\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1000\2000 \end{bmatrix}=1000\begin{bmatrix} 1\2 \end{bmatrix}$$ $$h(A+B)=hA+hB$$ $$(a+b)A=aA+bA$$

Nhân có hướng ma trận

$\vec{a}=(1;2)$, $\vec{b}=(-1;4)$ -> $\vec{a}\times \vec{b}=1\cdot-1+2\cdot4=7$ -> $A=\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}-1\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\end{bmatrix}$ $$\begin{bmatrix} 1&2&-3 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} -1\4\5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -8 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} -1&2\4&3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7&8 \end{bmatrix}$$ (tức là $\begin{bmatrix}1-1+24&12+23\end{bmatrix}$) $$\begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} -1&2&1&-1\4&3&5&6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7&8&11&11 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1&2&3\2&-1&4 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} -1&2&3&2\4&1&7&5\5&6&9&4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 22&22&44&11\14&27&35&-3 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1&2&3\2&-1&4 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 3&1\4&-2\5&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 26&-3\22&4 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 3&1\4&-2\5&0 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1&2&3\2&-1&4 \end{bmatrix}\times=\begin{bmatrix} 5&5&13\0&10&4\5&10&15 \end{bmatrix}$$ Muốn nhân được cả hai chiều thì buộc phải $A_{m\times n}$ và $B_{n\times m}$. Nếu không sẽ chỉ nhân được một chiều. Ma trận tích có số dòng bằng số dòng của $A$ và số cột là số cột của $B$. Nếu $A\times B$ và $B\times A$ đều nhân được thì tích $A\times B$ và $B\times A$ có thể khác nhau. Phép nhân ma trận không giao hoán.

Khi A vuông -> $A^n$ là tích của $n$ ma trận $A$. $$\begin{bmatrix} 3&1\0&4 \end{bmatrix}^{1000}=\begin{bmatrix} 3^{1000}&4^{1000}-3^{1000}\0&4^{1000} \end{bmatrix}$$

1.3. Định thức của ma trận vuông

Định nghĩa

Cho ma trận $A$ vuông cấp 1 có 1 phần tử là $\begin{bmatrix}a_{11}\end{bmatrix}$. $\det (A)=|A|=a_{11}$. Vuông cấp 2: $$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} \to \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$ Vuông cấp 3: $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}$. Tìm $\det (A)$ lấy tích các phần tử không cùng dòng và không cùng cột; từ trái sang phải thì cộng và từ phải sang trái thì trừ. $\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$.

Khi $n>4$?

$n = 1$: -> một hoán vị $n = 2$: ${1; 2}$ -> 12 (hoán vị chẵn), 21 (hoán vị lẻ do 1<2, hay còn gọi là có 1 nghịch thế) $|A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ $n = 3$: $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}$ . Có thể biết được dấu bằng cách đếm nghịch biến của số các cột. Có số hạng chưa rõ dấu $a_{1x}a_{2y}a_{3z}$. $x$, $y$, $z$ sẽ là các hoán vị của ${1; 2; 3}$. Các cách xếp là $3! = 6$ số hạng trong định thức. Xác định dấu bằng cách xem hoán vị có số nghịch thế là chẵn hay lẻ. Giả sử: $a_{11}a_{22}a_{33}$ là 123, nghịch thế là 0, vì thế mang dấu $+$. $a_{12}a_{21}a_{33}$ là 213, số nghịch thế là 1, vì thế mang dấu $-$. Vì thế, ta có: $$|A|=\sum a_{1\alpha_{1}}a_{2\alpha_{2}}\dots a_{n\alpha_{n}}\cdot(-1)^{N_{a_{1}a_{2}\dots a_{n}}}$$ trong đó $N$ là số nghịch thế. Một số đặc tính: có $\frac{n!}{2}$ số hạng mang dấu $+$, và $\frac{n!}{2}$ số hạng mang dấu $-$.

2. Các tính chất của định thức

1. Nếu đổi chỗ 2 dòng cho nhau, các dòng khác giữ nguyên; thì định thức đổi dấu.
2. Khi nhân $k$ vào một dòng, các dòng khác không đổi; thì định thức được nhân với $k$.
   • Hệ quả 1: nếu 1 dòng chia hết cho một số thì có thể đưa thừa số đó ra ngoài định thức.
   • Hệ quả 2: nếu 1 dòng bằng 0 hết thì định thức bằng 0.
   • Hệ quả 3: nếu ma trận có 2 dòng bằng nhau thì ma trận bằng 0.
     • Do định thức ma trận đã đổi (1) phải đổi dấu và ma trận vẫn không thay đổi (1), nên định thức bằng 0.
   • Hệ quả 4: nếu ma trận có 2 dòng tỉ lệ thì định thức bằng 0.
3. Nếu lấy một dòng ($i$) cộng với $k$ lần dòng khác ($j$) và thay vào vị trí cũ thì định thức không đổi.
   • Nếu lấy một dòng mà cộng k lần dòng khác rồi gắn lại vào dòng đó, định thức không đổi.
   • Nếu lấy một dòng mà cộng với tổ hợp tuyến tính các dòng khác gắn vào dòng đó thì định thức không đổi.
4. Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức ma trận ban đầu. Các tính chất từ 1 đến 3 vẫn đúng khi thay dòng bằng cột (vì tính chất 4)

BTVN: Hoàn thành các bài từ 1 đến 14.